Question

关于数列的题目

已知数列{an}的前n项的和为sn，其中an不等于0，a1为常数，且-a1、Sn、a（n+1）成等差数列。{注意：1和n+1为a的角下标}
1：求{an}的通项公式
2：设bn=1-Sn，问是否存在a1，使数列{bn}成等比数列？若存在，则求出a1的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)由题可知，2Sn=a(n+1)-a1,
所以2S(n+1)=a(n+2)-a1,
两式相减，得2a(n+1)=a(n+2)-a(n+1),
所以a(n+2)/a(n+1)=3,
因为2a1=a2-a1,所以a2=3a1,
所以对于任意n为正整数，a(n+1)/an=3,
所以数列{an}为以3为公比的等比数列，
所以an=a1*3^(n-1)；

(2)因为Sn=[a(n+1)-a1]/2=a1(3^n-1)/2,
所以bn=1-a1(3^n-1)/2,
因为b1=1-a1,b2=1-4a1,b3=1-13a1,
若数列{bn}为等比数列，则(b2)^2=b1*b3,
所以(1-4a1)^2=(1-a1)(1-13a1),
因为an不等于0,所以a1=-2,
此时bn=3^n，为等比数列，
所以存在a1=-2,使数列{bn}成等比数列.

Answer 2

1、-a1、Sn、a（n+1）成等差数列
故有a（n+1）-Sn=Sn+a1
a（n+1）-a1=2Sn (1)
也就有
a(n）-a1=2S(n-1) (2)
(1)-(2)得：
a（n+1）-a(n）=2(Sn-S(n-1))=2a(n)

a（n+1）=3a(n)
a（n+1）/a(n)=3
所以{an}是等比数列，
an=a1*3^(n-1)
2、先假设数列{bn}成等比数列
Sn=a1(1-3^n)/(1-3)=(3^n-1)*a1/2
bn=1-Sn=1-(3^n-1)*a1/2
b1=1-a1
b2=1-4a1
b3=1-13a1
(1-a1)(1-13a1)=(1-4a1)^2
解得：
a1=-2
bn=1-(3^n-1)*(-2)/2=3^n
显然bn=3^n是等比数列