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解：分享一种解法。用“丨a,b,c：β1；d,e,f：β2；g,h,i：β3丨”表示线性方程系数和值构成的广义行列式的各元素。
广义行列式A=丨1,1,1：0；1,2,a：0；1,4,a^2：0丨。将第1行元素乘以(-1)分别加到第2、第3行上，A→丨1,1,1：0；0,1,a-1：0；0,3,a^2-1：0丨；再将第2行元素乘以(-3)分别加到第3行上，A→丨1,1,1：0；0,1,a-1：0；0,0,a^2-1-3(a-1)：0丨。
∴a^2-1-3(a-1)≠0，即a≠1、a≠2时，方程有唯一解，x1=x2=x3=0。此时，与方程x1+2x2+x3=a-1没有公共解。故，只有a=1或者a=2时，方可能有公共解。
①a=1时，由原方程组，解得x2=0，x1=-x3，完全满足x1+2x2+x3=a-1=0，∴其公共解是x2=0，x1=-x3，其中x3为任意数。
②a=2时，由原方程组，解得x1=0，x2=-x3，代入方程x1+2x2+x3=a-1=1，得x2=1、x3=-1。∴其公共解是x1=0，x2=1、x3=-1。
供参考。
广义行列式A=丨1,1,1：0；1,2,a：0；1,4,a^2：0丨。将第1行元素乘以(-1)分别加到第2、第3行上，A→丨1,1,1：0；0,1,a-1：0；0,3,a^2-1：0丨；再将第2行元素乘以(-3)分别加到第3行上，A→丨1,1,1：0；0,1,a-1：0；0,0,a^2-1-3(a-1)：0丨。
∴a^2-1-3(a-1)≠0，即a≠1、a≠2时，方程有唯一解，x1=x2=x3=0。此时，与方程x1+2x2+x3=a-1没有公共解。故，只有a=1或者a=2时，方可能有公共解。
①a=1时，由原方程组，解得x2=0，x1=-x3，完全满足x1+2x2+x3=a-1=0，∴其公共解是x2=0，x1=-x3，其中x3为任意数。
②a=2时，由原方程组，解得x1=0，x2=-x3，代入方程x1+2x2+x3=a-1=1，得x2=1、x3=-1。∴其公共解是x1=0，x2=1、x3=-1。
供参考。
追问
你答得都很专业，但是看得好累，建议手写拍照啊
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