Question

已知对任意x∈（0，+∞），不等式ax²-x+a＞0恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

解a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0这与题意不符
当a≠0时，得a(x^2+1)＞x恒成立
即a＞x/(x^2+1)恒成立
即a＞1/(x+1/x)恒成立
因为x+1/x≥2恒成立
即1/(x+1/x)≤1/2
即a≥1/2
故综上知a≥1/2

Answer 2

x∈（0，+∞）
ax²-x+a＞0→
a(x-1/2a)²>1/4a
讨论
①a>0时，抛物线开口朝上
(x-1/2a)²>(1/2a)²
a>2/x
∴a∈(0，∞)

追答

此时，△<0

1-4a²<0
a∈(1/2，+∞)

②x∈（0，+∞）
ax²-x+a＞0→
a(x-1/2a)²>1/4a

a0
∴a∈(0，∞)不存在！

最终答案a>1/2

Answer 3

ax^2-x+a＞0
a>0 (1) and

△ >0
1-4a^2 >0
-1/2<a < 1/2 (2)

(1) and (2)
0<a< 1/2