Question

点关于直线对称的点的求法

Answer 1

点关于直线对称的点的求法如下：

在平面直角坐标系中，设一个点为A（x1，y1），我们要求出与点A关于直线L：ax+by=0对称的点B的坐标。关于直线对称的点的连线的斜率在直线的两侧互为相反数。这意味着如果直线L的斜率为k，那么与点A关于直线L对称的点B与点A的连线的斜率应为-k。

关于直线对称的点的中点的坐标满足直线方程。也就是说，对于任何一条过A和B的直线l,其斜率等于-k,且该直线经过AB的中点M（x2, y2）。根据以上两点，我们可以得到以下两个等式：k*（y2-y1）=-b *（x2 - x1）、a*（x2 + x1）+b*（y2+y1=0。

其中，（x1，y1）是点A的坐标，（x2，y2）是线段AB的中点坐标。现在我们可以通过解这两个等式来求得点B的坐标。首先从第一个等式开始解出y2-y1：y2-y1=k*（x2-x1）/b。将这个表达式代入第二个等式：a*（x2+x1）+b* k*（x2-x1）/ b）=0。

简化后得到：a*（x2+x1）=-k*（x2-x1）进一步化简：x2=（-b*k+a）/ （a+b*k）有了x2的值，我们就可以求出y2的值：y2=k*（x2-x1）+y1=k*[（（-b*k+a）/ （a+b*k））-x1]+y1=k*[（（-b*k+a/（a+b*k））-x1]+y1。

最后，我们得到了点B的坐标为B（（（-b*k+a）/ （a+b*k））， k*[（（-b*k+a）/ （a+b*k)) - x1]）+y1。这就是与点A关于直线L对称的点B的坐标。

点关于直线对称的点的公式如下：

点关于直线对称公式为点（a，b）关于直线 y=kx+m（k=1或-1）的对称点为（b/k-m/k，ka+m）,实际上是将表达式中的x，y的值互换，因为直线方程y=kx+m 中有x=y/k-m/k 且 y=kx+m，所以这种方法只适用于k=1或-1的情况。

当k不等于1或-1时，点（a，b）关于直线 Ax+By+C=0的对称点为（a-（2A*（Aa+Bb+C））/(A*A+B*B)，b-（2B*（Aa+Bb+C））/（A*A+B*B））。

同样可以扩展到曲线关于直线对称方面，有f（x，y）=0，直线 Ax+By+C=0的对称曲线为f（x-（2A*（Ax+By+C））/(A*A+B*B)，y-（2B*（Ax+By+C））/（A*A+B*B））=0。

对于存在K的直线，任一侧存在一点M（X1，Y1）。此点关于这条直线的对称点N（X2，Y2）坐标满足（±2B·|K|·|AX1+BY1+C|/（A²+B²）+X1，±2A·|1/K|·|AX1+BY1+C|/（A²+B²）+Y1），当已知点在直线上方坐标取负号，当已知点在直线下方坐标取正号。以上就是点关于直线对称公式的做法。