Question

帮忙证明一下行列式。

Answer 1

第1行加到第2行，
然后第2行，加到第3行
。。。

第n-1行，加到第n行，得到
a1 -a2 0 0 0 ... 0 0 0
a1 0 -a3 0 0 ... 0 0 0
a1 0 0 -a4 0 ... 0 0 0
...
a1 0 0 0 0 ... 0 -an-1 0
a1 0 0 0 0 ... 0 0 -an
a1+1 1 1 1 1 ... 1 1 1

按第1列拆开，得到2个行列式
a1 -a2 0 0 0 ... 0 0 0
a1 0 -a3 0 0 ... 0 0 0
a1 0 0 -a4 0 ... 0 0 0
...
a1 0 0 0 0 ... 0 -an-1 0
a1 0 0 0 0 ... 0 0 -an
a1 1 1 1 1 ... 1 1 1

+
0 -a2 0 0 0 ... 0 0 0
0 0 -a3 0 0 ... 0 0 0
0 0 0 -a4 0 ... 0 0 0
...
0 0 0 0 0 ... 0 -an-1 0
0 0 0 0 0 ... 0 0 -an
1 1 1 1 1 ... 1 1 1

第1个行列式，提取第1列公因子a1，
第2个行列式，按第1列展开，得到下三角n-1阶行列式，
=a1*
1 -a2 0 0 0 ... 0 0 0
1 0 -a3 0 0 ... 0 0 0
1 0 0 -a4 0 ... 0 0 0
...
1 0 0 0 0 ... 0 -an-1 0
1 0 0 0 0 ... 0 0 -an
1 1 1 1 1 ... 1 1 1

+(-1)^(n+1)(-1)^(n-1)a2a3...an
=
行列式第2～n列，分别乘以一个倍数1/ai，加到第1列，把第1列，化成只剩下最后1行不为0，即

a1*
0 -a2 0 0 0 ... 0 0 0
0 0 -a3 0 0 ... 0 0 0
0 0 0 -a4 0 ... 0 0 0
...
0 0 0 0 0 ... 0 -an-1 0
0 0 0 0 0 ... 0 0 -an
1+1/a2+1/a3+...+1/an 1 1 1 1 ... 1 1 1

+(-1)^(n+1)(-1)^(n-1)a2a3...an
=
按第1列展开，得到
a1（1+1/a2+1/a3+...+1/an）(-1)^(n+1)（-1）^(n-1)a2a3...an
+(-1)^(n+1)(-1)^(n-1)a2a3...an
=
（1+1/a2+1/a3+...+1/an）a1a2a3...an
+(1/a1)a1a2a3...an

=a1a2a3...an(1+1/a1+1/a2+...+1/an)