高等数学不等式证明 10
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记 f(x) = lnx - lna - (x-a)/√(ax), x > a > 0.
即 f(x) = lnx - lna - √x/√a +√a/√x
则 f'(x)= 1/x - 1/[2√(ax)] - √a/[2x^(3/2)]
= (2√x - x - a)/[2√ax^(3/2)]
= -(√x -√a)^2 / [2√ax^(3/2)] < 0
函数 f(x) 单调减少。 f(a) = 0,
则 x > a > 0 时，f(x) < 0,
即 lnx - lna < (x-a)/√(ax),
即 f(x) = lnx - lna - √x/√a +√a/√x
则 f'(x)= 1/x - 1/[2√(ax)] - √a/[2x^(3/2)]
= (2√x - x - a)/[2√ax^(3/2)]
= -(√x -√a)^2 / [2√ax^(3/2)] < 0
函数 f(x) 单调减少。 f(a) = 0,
则 x > a > 0 时，f(x) < 0,
即 lnx - lna < (x-a)/√(ax),
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