Question

已知函数f(x)=alnx+½x²(a>0),若对任意两个不等的正实数m,n，都有f(m)-f(n)/m-n

已知函数f(x)=alnx+½x²(a>0),若对任意两个不等的正实数m,n，都有f(m)-f(n)/m-n＞3，则实数a的取值范围是

Answer 1

对任意两个不等的正实数m,n，都有f(m)-f(n)/m-n＞3
则当x＞0时,f'（x）>3恒成立
f'(x)=a/x+x>3在(0,+∞)上恒成立
则a>(3x - x²)=-(x - 3/2)² + 9/4
当x = 0时，(3x - x²)取得最大值9/4，而x∈(0,+∞)
即a的取值范围是[9/4,+∞)

Answer 2

f‘（x）=a/x+x>3，a/x+x≥2√a，∴2√a>3，a>9/4