Question

如何理解线性空间这一概念

Answer 1

线性空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何中引入向量的概念后，许多问题被处理得更加简洁明了。在此基础上，进一步抽象了域相关向量空间的概念。

实系数多项式集在定义了适当的运算后构成线性空间。用代数方法处理它们是方便的。定义了适当的运算后，单变量实函数集也构成线性空间。研究这类函数向量空间的数学分支称为函数分析。向量空间理论和方法在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1、在v中，定义了一种运算，称为加法，即对于v中的任意两个元素，α+β按照一定的规则对应于v中唯一确定的元素，称为α和β之和。

2、在p和v元素之间定义一个运算，称为纯乘法（也称为量化乘法）。即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

扩展资料：

线性空间的线性映射：

若 V 和 W 都是域F上的向量空间，则可以设置v到w的线性变换或“线性映射”。从v到w的这些映射有一些共同点，即它们保持了和商和标量商。这个集合包含从v到w的所有线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是域F上的向量空间。当v和w被确定时，线性映射可以用矩阵来表示。

同构是一对一的线性映射。如果v和w之间存在同构，我们称这两个空间同构；场f上的每个n维向量空间都与向量空间f同构。

参考资料来源：百度百科-向量空间

参考资料来源：百度百科-度量线性空间

Answer 2

我们可以把线性空间理解成为一个“大空间”。这个空间就像宇宙一样，包含着许许多多的元素，就是这样一个“大空间”，我们把它称为“线性空间”。

当然，要描述一个量必须要提到的就是它“最为基础（重要）”的地方，就是其具有亮点比较重要的地方：
①对加法和数乘具有封闭性，就是任意在该空间取两个（或者两个以上）向量（也可以理解为该空间的元素，大多数情况下我们选择将其理解为向量），经过数乘和加法运算后得到的新向量还存在于该线性空间中，即得到的结果不可能跳出这个“界限”。
②想要描述一个线性空间，我们就必须知道其最为基础也是最为重要的部分，我们称之为“基”。通常情况下准确的说是“基向量组”。就像我们建造房子一样，线性空间比喻为一个“大房子”，而我们将“基向量组”描述为建造这个房子最为重要的“基础材料”，有了这些材料，我们便可以建造起这座房子（注意：这里不将其形象的描述为“地基”，是因为地基确确实实是建造房子的基础，但是我们要求的“基向量组”是需要具有能够构成一切的“元素”），意思就是在确定了“基向量组”后，这座房子的任何部分（all of the house）就都能够被表达出来了。
这样，线性空间也就基本上被描述出来了。
欢迎追问！

Answer 3

线性空间是一个比较好玩的数学结构。

　　它比较像是一个装着很多向量的集合，特点是任意取一个向量来伸缩，或者任意取两个向量来求和，结果得到的新的向量一定还是在这个空间里面的。

　　我们可以在这个空间中挑出几个向量，然后说，空间中所有的向量都可以用这几个向量组合出来，这就是生成向量。
　　如果恰好这几个向量是相互独立的，我们就可以说，这些向量可以是这个线性空间的基准向量。