Question

在三角形ABC中,若tanA/tanB+tanA/tanC=3,则sinA的最大值为

Answer 1

答案为（√21）/5。

解题过程如下：

正弦余弦化简等式可得b²+c²=5/3a²,

余弦定理和不等式求解cosA最小值，

利用cosA²+sinA²=1解得（sinA）max=√21/5

最终答案（√21）/5。

扩展资料

性质

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

Answer 2

1/tanB+1/tanC=3/tanA
A是锐角。如果A是钝角，tanA<0,tanB>0,tanC>0,上式左正右负，不成立。
A是直角，右端0，左端正数，不成立。

（tanB+tanC）/（tanBtanC）=3/tanA
tanA=tan（180°-B-C）=-tan（B+C)
=-（tanB+tanC）/（1-tanBtanC）
=（tanB+tanC）/(tanBtanC-1)
tanB+tanC=-tanA(1-tanBtanC)
tanA(tanBtanC-1)/（tanBtanC）=3/tanA
tan²A(tanBtanC-1)=3（tanBtanC）
（tan²A-3）tanBtanC=tan²A
（tan²A-3）sinBsinC=tan²AcosBcosC
（tan²A-3）[cos(B-C)-cos(B+C)]/2=tan²A[cos(B-C)+cos(B+C)]/2
（tan²A-3）[cos(B-C)+cosA]=tan²A[cos(B-C)-cosA]
（tan²A-3）cos(B-C)+（tan²A-3）cosA=tan²Acos(B-C)-tan²AcosA
-3cos（B-C）+（2tan²A-3）cosA=0
2tan²AcosA=3[cosA+cos（B-C）]
2tanAsinA=3[-cos(B+c)+cos(B-C)]
2tanAsinA=6sinBsinC
sin²A=3sinBsinCcosA
正弦定理代入
a²=3bccosA
余弦定理：
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2a²/3
5a²/3=b²+c²
5a²=3（b²+c²）
5sin²A=3（sin²B+sin²C）
10sin²A=3（2sin²B+2sin²C）=3（1-cos2B+1-cos2C）
=6-3（cos2B+cos2C）=6-6cos（B+C）cos（B-C）=6+6cosAcos（B-C）
≤6+6cosA，B-C时，右边最大。sinA最大，cosA最小；
5（1-cos²A）≤3+3cosA
5cos²A+3cosA-2≥0
（cosA+1）（5cosA-2）≥0；
5cosA-2≥0
1>cosA≥2/5
sinA=√（1-cos²A）≤√（1-4/25）=√21/5

Answer 3

正弦余弦化简等式可得b²+c²=5/3a²,
余弦定理和不等式求解cosA最小值，
利用cosA²+sinA²=1解得（sinA）max=√21/5
最终答案（√21）/5