Question

第18题第二问

Answer 1

（2）令A1C∩AC1＝O。
∵ABC－A1B1C1是三棱柱，∴ACC1A1是平行四边形，又AA1＝AC，
∴ACC1A1是菱形，∴AO⊥A1C、∠A1AO＝（1/2）∠A1AC。
∵∠A1AC＝60°，∴∠A1AO＝30°，而AO⊥A1O、AA1＝2，∴AO＝√3。

过E作EH⊥平面A1BC，垂足为H。
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，BC⊥AC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，
∴BC⊥平面ACC1A1，∴AO⊥BC，又AO⊥A1C，∴AO⊥平面A1BC，
而EH⊥平面ABC，∴EH∥AO，∴H在直线A1O上，∴A1E/AA1＝EH/AO，
∴（AA1－AE）/AA1＝EH/AO，∴（2－2λ）/2＝EH/√3，∴EH＝√3（1－λ）。

∵∠A1AC＝60°、AA1＝AC＝2，∴A1C＝2。
∵BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C，又BC＝A1C＝2，∴A1B＝2√2。
∵BC⊥AC、BC＝AC＝2，∴AB＝2√2。
显然有：cos∠A1AB＝（1/2）AA1/AB＝1/（2√2）。

由余弦定理，有：
BE^2
＝AE^2＋AB^2－2AE·ABcos∠A1AB
＝4λ^2＋8－2×2λ×2√2×［1/（2√2）］
＝4λ^2＋8－4λ。
自然有：EH/BE＝cos∠EBH＝cos60°＝√3/2，
∴（EH/BE）^2＝3/4，∴3（1－λ）^2/（4λ^2＋8－4λ）＝3/4，
∴（1－λ）^2＝λ^2＋2－λ，∴1－2λ＋λ^2＝λ^2＋2－λ，∴λ＝－1。