Question

分段函数求导，一定要在区间端点处用求导定义求吗？

Answer 1

分段函数分段点求导不是一定要用定义法。

只要一个区间上的函数可以光滑延拓到区间外，那么区间端点上的单侧导数可以不用定义来算。比如说x＝a时y＝g（x）＝2x＋1对于这种情况。

根据函数表达式先尝试把f和g在a的附近延拓一下，可以发现x＝a是f（x）的间断点，这里的左导数要另外算；但是x＝a不是g（x）的间断点。就算连续了，导数也不一定存在啊，所以用定义，求左导数和又导数，综合起来看是否可导。

含义

函数去绝对值符号后就变为分段函数，f(x)=|x+1|+|x-1| =这个分段函数有三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两边各是一条射线，中间是一条线段。

分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

Answer 2

如果分段函数在分段点处是连续的，则可以套用求导公式求左右导数。你给出的题目是符合这一点的，所以你的第二种方法是正确的！

如果分段函数在分段点处不连续，在分段点处的左右导数不能套用求导公式。但是如果右连续，则右导数可以套用求导公式，如果左连续，则左导数可以套用求导公式。关键就是使用导数定义的时候带入的函数值是在本分支上，还是在另外分支上。

以你的题目为例，
求x＝0处的右导数时，使用右分支sinx，sinx本身在x＝0处可导，导数是cos0＝1。sinx作为f(x)的右分支，在x＝0处连续，所以f(x)的右导数就是sinx在x＝0处的导数。
用定义求x＝0处的左导数时，带入的函数值是f(0)＝sin0＝0，虽然f(0)在x≥0的分支上，但是x＜0的分支也满足f(0)＝0，所以带入的函数值f(0)也可以看作x＜0的分支在x＝0处的值，此时用定义求导数与直接用公式求导是一样的。