Question

求数项级数的和

求数项级数的和如图

Answer 1

n是偶数时，(-1)^(n-1)=-1，偶数项变成了0.
n是奇数时，(-1)^(n-1)=1，奇数项变成了2an.
合在一起写就是2a_(2n-1)

Answer 2

解：分享一种解法。原式=∑1/[(n^2-1)2^n]=∑[1/(n-1)-1/(n+1)]/2^(n+1)。
令S(x)=∑[x^(n+1)]/(n+1)，在其收敛域x∈[-1,1)内对x求导，有S'(x)=∑x^n=(x^2)/(1-x)=-1-x+1/(1-x)，∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-x-(1/2)x^2-ln(1-x)。∴∑1/(n+1)]/2^(n+1)=S(1/2)=ln2-5/8。
同理，设T(x)=∑[x^(n+1)]/(n-1)，则T(x)=(x^2)∑[x^(n-1)]/(n-1)。仿前S(x)的计算过程，T(x)=-(x^2)ln(1-x)，∴∑[1/(n-1)]/2^(n+1)=T(1/2)=(1/4)ln2，
∴原式=T(1/2)-S(1/2)=5/8-(3/4)ln2)。供参考。