Question

帮帮忙，解一下这个题

Answer 1

y'' = 1/(1+x^2)
y' = arctanx + C1
y = ∫ (arctanx + C1) dx
= ∫ (arctanx dx+ C1x
=xarctanx - ∫ x/(1+x^2) dx+ C1x
=xarctanx - (1/2)ln|1+x^2|+ C1x + C2

Answer 2

y''=1/(1+x²)
所以y'=arctanx+C1
则y=∫(arctanx+C1)dx
=∫arctanxdx+∫C1dx
=xarctanx-∫xdarctanx+∫C1dx
=xarctanx-∫xdx/(1+x²)+∫C1dx
=xarctanx-1/2∫d(1+x²)/(1+x²)+∫C1dx
=xarctanx-1/2*ln(1+x²)+C1x+C2

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Answer 3

y''=1/（1+x^2）
令y'=dy/dx=p
则y''=dp/dx
所以
dp/dx=1/（1+x^2）
积分∫得
p=arctanx+C1
即 dy/dx=arctanx+C1
dy=(arctanx+C1)dx
两边积分得
y=∫ (arctanx+C1)dx
=∫ arctanxdx+C1x
=xarctanx-∫ x/(1+x^2)dx+C1x
=xarctanx-1/2∫ 1/(1+x^2)d(1+x^2)+C1x
=xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C1x+C2
综上，y"=1/（1+x^2）通解是y=xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C1x+C2

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