考研数学,线性代数,为什么AX=0,和AtAX=0是同解方程组?
AX=0,和AtAX=0是同解方程组析如下:
当AX=0时,A^TAX=0,所以AX=0的解是A^TAX=0的解。当A^TAX=0时,等式两边同时乘以X^T,得X^TA^TAX=0,也就是(AX)^TAX=0。而(AX)^TAX=||AX||,称为AX的范数,它的取值大于等于0,当且仅当AX=0时,||AX||=0。
所以A^TAX=0时,AX=0,即A^TAX=0的解是AX=0的解。
扩展资料:
同解线性代数方程的性质如下:
1、在实数域内,(x-1)(x2-2x+4)=0 与 (x-1)(x2-6x+11)=0 同解,但在复数域内,二者不同解。
2、根的重数,(x-1)²=0 与 x-1=0 不同解。
3、解集完全相同,其它条件也符合的方程是同解方程。
当AX=0时,A^TAX=0,所以AX=0的解是A^TAX=0的解。当A^TAX=0时,等式两边同时乘以X^T,得X^TA^TAX=0,也就是(AX)^TAX=0。
而(AX)^TAX=||AX||,称为AX的范数,它的取值大于等于0,当且仅当AX=0时,||AX||=0。所以A^TAX=0时,AX=0,即A^TAX=0的解是AX=0的解。
重要定理
每一个线性空间都有一个基。
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E(E是单位矩阵),则 A 为非奇异矩阵(或称可逆矩阵),B为A的逆阵。
矩阵非奇异(可逆)当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
以上内容参考:百度百科-线性代数
2017-10-20
当A^TAX=0时,等式两边同时乘以X^T,得X^TA^TAX=0,即(AX)^TAX=0。而(AX)^TAX=||AX||,称为AX的范数(长度),它的取值大于等于0,当且仅当AX=0时,||AX||=0。所以A^TAX=0时,AX=0,即A^TAX=0的解是AX=0的解。
结论,AX=0和A^TAX=0同解。