Question

线性代数问题 设四阶可逆矩阵A按列分块为A=(a1，a2，a3，a4)，方阵B=(a4，a1

线性代数问题
设四阶可逆矩阵A按列分块为A=(a1，a2，a3，a4)，方阵B=(a4，a1，a3，a2)，已知线性方程组Bx=b有唯一解为x=(1，3，5，7)T，则方程组Ax=b的解为(3，7，5，1)T
把列交换两次是这样的结果，那如果交换一次例如方阵B=(a2，a1，a3，a4)的话方程组Ax=b的解会是什么？会不会改变符号？

Answer 1

实际上，A=BP，B=AP^(-1)
其中P是初等列变换矩阵，是两个初等矩阵的乘积：P=P(1,2)P(1,4)
P^(-1)=P(1,4)P(1,2)
Bx=b有唯一解x=B^(-1)b=(1，3，5，7)T
则Ax=b有唯一解x=A^(-1)b=(BP)^(-1)b=P^(-1)B^(-1)b
=P(1,4)P(1,2)B^(-1)b
=(7，1，5，3)T

如果交换一次例如方阵B=(a2，a1，a3，a4)的话

此时B=P^(-1)
其中P是初等列变换矩阵，P=P(1,2)

P^(-1)=P(1,2)
Bx=b有唯一解x=B^(-1)b=(1，3，5，7)T
则Ax=b有唯一解x=A^(-1)b=(BP)^(-1)b=P^(-1)B^(-1)b
=P(1,2)B^(-1)b
=(3，1，5，7)T

符号不变