|λI-A|
=
λ-1 2 4
2 λ-4 2
4 2 λ-1
= (λ+4)(λ-5)2
= 0
解得λ = -4，5（两重）
将特征值-4代入特征方程(λI-A)x=0
-5 2 4
2 -8 2
4 2 -5
第3行, 减去第1行×(-45)
-5 2 4
2 -8 2
0 185 -95
第2行, 减去第1行×(-25)
-5 2 4
0 -365 185
0 185 -95
第3行, 减去第2行×(-12)
-5 2 4
0 -365 185
0 0 0
第2行, 提取公因子(-365)
-5 2 4
0 1 -12
0 0 0
第1行, 提取公因子-5
1 -25 -45
0 1 -12
0 0 0
第1行, 加上第2行×25
1 0 -1
0 1 -12
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -1 0
0 1 -12 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×1,12
1 0 0 1
0 1 0 12
0 0 1 1
第4列, 乘以2
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 2
得到属于特征值-4的特征向量
(2,1,2)T
将特征值5代入特征方程(λI-A)x=0
4 2 4
2 1 2
4 2 4
第3行, 减去第1行×1
4 2 4
2 1 2
0 0 0
第2行, 减去第1行×12
4 2 4
0 0 0
0 0 0
第1行, 提取公因子4
1 12 1
0 0 0
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 12 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
第1行, 加上第3行×-1
1 12 0 0 -1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
第1行, 加上第2行×(-12)
1 0 0 -12 -1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
第4列, 乘以2
1 0 0 -1 -1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1
得到属于特征值5的特征向量
(-1,2,0)T
(-1,0,1)T 得到特征向量矩阵P =
2 -1 -1
1 2 0
2 0 1
并且有P-1AP = Λ = diag(-4,5,5)
矩阵P施密特正交化
2 -1 -1
1 2 0
2 0 1
第3列，分别减去前两列的(C3,Ci)(Ci,Ci)倍其中i=1,2，然后第3列乘以5
2 -1 -4
1 2 -2
2 0 5
单位化，得到正交矩阵Q =
23 -1√5 -1√2
13 2√5 0
23 0 /√2
并且有Q-1AQ = Λ = diag(-4,5,5)
