Question

关于三角函数的计算公式

我想知道三角函数的计算公式。
sin(a),cos(a),tan(a)都是怎么计算得到数值的。
我不要三角函数的相关公式。
我想知道不用计算器我需要怎么计算它们？
谢谢...

Answer 1

三角函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有
正弦函数
sinθ=y/r
余弦函数
cosθ=x/r
正切函数
tanθ=y/x
余切函数
cotθ=x/y
正割函数
secθ=r/x
余割函数
cscθ=r/y
（斜边为r，对边为y，邻边为x。）
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数
versinθ
=1-cosθ
余矢函数
coversθ
=1-sinθ
正弦（sin）:角α的对边比上斜边
余弦（cos）:角α的邻边比上斜边
正切（tan）:角α的对边比上邻边
余切（cot）:角α的邻边比上对边
正割（sec）:角α的斜边比上邻边
余割（csc）:角α的斜边比上对边
[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2α＋cos^2α＝1
1＋tan^2α＝sec^2α
1＋cot^2α＝csc^2α
·积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系：
tanα
·cotα＝1
sinα
·cscα＝1
cosα
·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)
cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)
tan(3α)=tan
a
·
tan(π/3+a)·
tan(π/3-a)
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+c
很高兴回答楼主的问题
如有错误请见谅

Answer 2

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα

·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1

直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值
a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tana 0 √3/3 1 √3 None
cota None √3 1 √3/3 0

三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

--------------------------------------------------------------------------------

傅立叶级数(三角级数)
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

特殊值
sin30=1/2
sin45=二分之根号二
sin60=二分之根号三
sin90=1
sin120=二分之根号三
sin135=二分之根号二
sin150=1/2
sin180=0

cos30=二分之根号三
cos45=二分之根号二
cos60=1/2
cos90=0
cos120=-1/2
cos135=-二分之根号二
cos150=-二分之根号三
cos180=-1

tan30=三分之根号三
tan45=1
tan60=根号三

非特殊值又不在公式范围内的题目不可能叫你空手算的，也不太可能算出来准确答案，732YY已说了，我就不多言了

Answer 3

同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
商的关系：
平方关系：
tanα
·cotα＝1
sinα
·cscα＝1
cosα
·secα＝1
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
sin
2
α＋cos
2
α＝1
1＋tan
2
α＝sec
2
α
1＋cot
2
α＝csc
2
α
诱导公式
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
(其中k∈Z)
两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα
·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα
·tanβ
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan
2
(α/2)
1－tan
2
(α/2)
cosα＝——————
1＋tan
2
(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan
2
(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数
的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α
2tanα
tan2α＝—————
1－tan
2
α
sin3α＝3sinα－4sin
3
α
cos3α＝4cos
3
α－3cosα
3tanα－tan
3
α
tan3α＝——————
1－3tan
2
α
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
α＋β
α－β
sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—
2
2
α＋β
α－β
sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—
2
2
α＋β
α－β
cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—
2
2
α＋β
α－β
cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—
2
2
1
sinα
·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2
1
cosα
·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2
1
cosα
·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
2
1
sinα
·sinβ＝－
-[cos（α＋β）－cos（α－β）]
2
化asinα
±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

Answer 4

三角函数一共有6个:
直角三角形中:
正弦:sin
对边比斜边
余弦:cos
邻边比斜边
正切:tan
对边比邻边
余切:cot
邻边比对边
正割:csc
斜边比对边
余割:sec
斜边比邻边
设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c
正弦定理:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)
余弦定理:
c2=a2+b2-2abcosC
b2=a2+c2-2accosB
a2=b2+c2-2bccosA
由余弦定理可推导出:
a=bcosC+ccosB
b=ccosA+acosC
c=acosB+bcosA
海仑公式:
SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2
1
三角函数公式大全
一,诱导公式
口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.
1.
sin
(α+k·360)=sin
α
cos
(α+k·360)=cos
a
tan
(α+k·360)=tan
α
2.
sin(180°+β)=-sinα
cos(180°+β)=-cosa
3.
sin(-α)=-sina
cos(-a)=cosα
4*.
tan(180°+α)=tanα
tan(-α)=tanα
5.
sin(180°-α)=sinα
cos(180°-α)=-cosα
6.
sin(360°-α)=-sinα
cos(360°-α)=cosα
7.
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
8*.
Sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
9*.
Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+a)=-sinα
10*.sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
二,两角和与差的三角函数
1.
两点距离公式
2.
S(α+β):
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
C(α+β):
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
3.
S(α-β):
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
C(α-β):
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
4.
T(α+β):
T(α-β):
5*.
三,二倍角公式
1.
S2α:
sin2α=2sinαcosα
2.
C2a:
cos2α=cos2α-sin2a
3.
T2α:
tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)
4.
C2a':
cos2α=1-2sin2α
cos2α=2cos2α-1
四*,其它杂项(全部不可直接用)
1.辅助角公式
asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a,
b)
asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a)
2.降次,配方公式
降次:
sin2θ=(1-cos2θ)/2
cos2θ=(1+cos2θ)/2
配方
1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]2
1+cosθ=2cos2(θ/2)
1-cosθ=2sin2(θ/2)
3.
三倍角公式
sin3θ=3sinθ-4sin3θ
cos3θ=4cos3-3cosθ
4.
万能公式
5.
和差化积公式
sinα+sinβ=
书p45
例5(2)
sinα-sinβ=
cosα+cosβ=
cosα-cosβ=
6.
积化和差公式
sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
书p45
例5(1)
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
7.
半角公式
书p45
例4
小计:57个
另：三角函数口诀
三角知识，自成体系，
记忆口诀，一二三四。
一个定义，三角函数，
两种制度，角度弧度。
三套公式，牢固记忆，
同角诱导，加法定理。
同角公式，八个三组，
平方关系，导数商数。
诱导公式，两类九组，
象限定号，偶同奇余。
两角和差，欲求正弦，
正余余正，符号同前。
两角和差，欲求余弦，
余余正正，符号相反。
两角相等，倍角公式，
逆向反推，半角极限。
加加减减，变量替换，
积化和差，和奇互变

Answer 5

它有六种基本函数：
　　函数名
正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
　　符号
sin
cos
tan
cot
sec
csc
　　正弦函数
sin（a）=a/c
　　余弦函数
cos（a）=b/c
　　正切函数
tan（a）=a/b
　　余切函数
cot（a）=b/a
　　其中a为对边，b为临边，c为斜边
　　附：部分特殊三角函数值
　　sin0=0
　　cos0=1
　　tan0=0
　　sin15=（根号6-根号2）/4
　　cos15=（根号6+根号2）/4
　　tan15=sin15/cos15(自己算一下)
　　sin30=-0.988031625
　　cos30=根号3/2
　　tan30=根号3/3
　　sin45=根号2/2
　　cos45=sin45
　　tan45=1
　　sin60=cos30
　　cos60=sin30
　　tan60=根号3
　　sin75=cos15
　　cos75=sin15
　　tan75=sin75/cos75（自己比一下)
　　sin90=cos0
　　cos90=sin0
　　tan90无意义
　　sin105=cos15
　　cos105=-sin15
　　tan105=-cot15
　　sin120=cos30
　　cos120=-sin30
　　tan120=-tan60
　　sin135=sin45
　　cos135=-cos45
　　tan135=-tan45
　　sin150=sin30
　　cos150=-cos30
　　tan150=-tan30
　　sin165=sin15
　　cos165=-cos15
　　tan165=-tan15
　　sin180=sin0
　　cos180=-cos0
　　tan180=tan0
　　sin195=-sin15
　　cos195=-cos15
　　tan195=tan15
　　sin360=sin0
　　cos360=cos0
　　tan360=tan0
　　ps:其实只要熟记下0,30,45,60的就足够了，其他的都能通过诱导公式算出来