Question

高等数学极限等式求证

Answer 1

其实这一题很直观，就是一堆正数，几乎所有的项都在A附近，那么他们的平均值（几何平均数）也在A附近。为了方便书写证明过程，对待证等式两端同时取对数，得到
ln[lim (a1*a2*…*an)^(1/n)]=lnA
根据复合极限的特点，得到待证等式等价于
lim ln(a1*a2*…*an)^(1/n)=lnA
即
lim (1/n)Σlna(k)=lnA，其中求和的范围为k=1到k=n。
因为lim an=A，所以lim lna(n)=lnA。
设b(n)=lna(n),B=lnA，上式等价于lim b(n)=B。
那么只要证明 lim (1/n)*Σb(k)=B，其中求和项从k=1到k=n。
既然lim b(n)=B，那么对于任给的ε>0，总是存在N>0，使得对于任何的n≥N，总是满足
|b(n)-B|<ε即B-ε<b(n)<B+ε。
那么
B-ε<b(N+1)<B+ε
B-ε<b(N+2)<B+ε
……
B-ε<b(N+p)<B+ε
上面各式求和，得到
p*(B-ε)<b(N+1)+b(N+2)+…+b(N+p)<p*(B+ε)。
再设S(N)=Σb(k)，其中k从1到N，即数列{b(k)}的前N项和，因为N已知，所以必定是有界量。
所以
p*(B-ε)+S(N)<b(N+1)+b(N+2)+…+b(N+p)+S(N)<p*(B+ε)+S(N)。
不等式同时除以N+p，得到
[p*(B-ε)+S(N)]/(N+p)<[1/(N+p)]*Σb(k)<[p*(B+ε)+S(N)]/(N+p)
上式中间的求和范围是从k=1到k=N+p。
不等式相应减去B，得到
[p*(B-ε)+S(N)]/(N+p)-B<[1/(N+p)]*Σb(k)-B<[p*(B+ε)+S(N)]/(N+p)-B

Answer 2

倒着往看应该懂

追问

不懂装懂