Question

A为4阶实对称矩阵，r(A-4E)=1,A的各行元素之和为0，则r(A)等于多少？

A为4阶实对称矩阵，r(A-4E)=1,A的各行元素之和为0，则r(A)等于多少？

Answer 1

令β=(1,1,...,1)^T，A的各行元素为0，即Aβ=0=0β，则0是A的一个特征值。又r|A-4E|=0，则4是A的一个特征值，所以0-4=-4和4-4=0都是A-4E的特征值。又A与A-4E一定都相似于对角阵，且r(A-4E)=1，所以A-4E的特征值是一个-4和三个0，所以A的特征值是一个0和三个4，所以r(A)=3。