Question

求教圆锥曲线的各种简便的公式

Answer 1

 一、圆

[圆的方程、圆心与半径]

方程x²+ y²= R²

圆心与半径

圆心      G(0,0)

半径   r = R

(x -a)²+(y - b)²= R²        

圆心  G(a, b)  

半径   r = R

x²+y²+2mx + 2ny + q = 0             

m²+ n²> q

圆心      G(-m,-n)

半径  

r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2           (极坐标方程)

圆心   G(r0,j0)

半径   r = R

x2 + y2 = 2Rx

或r= 2Rcosj

(极坐标方程)

圆心   G(R, 0)

半径  r = R

[圆的切线]

圆     x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y = R²

圆          x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0            上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0

[两个圆的交角、圆束与根轴]

方程与图形

公式与说明

两个圆的交角

C1          x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0

C2          x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0

两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.

两个圆C1和C2正交条件为

2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0

圆束× 两个圆的根轴

C1+ lC2 = 0       (l为参数)

或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+lm2)x

+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0

根轴方程为2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0

对l(l¹-1)的一个确定值，表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.

(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).

(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).

(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).

从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.

[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：

（i）O, M, M¢共线，

（ii）OM× OM¢= r2，

这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.

由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.

取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为

反演具有性质：

1°    不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.

2°    通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.

3°    通过反演中心的一条直线变为它自己.

4°    不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.

5°    反演圆变为它自己.

6°    与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.

7°    如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.

8°    如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.

9°    两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换。

焦点弦长公式:r=ep/(1-ecosθ）,e是离心率,p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角,是极坐标中的表达式,根据e与1的大小关系分为椭圆,抛物线,双曲线.可以用第二定义证.双曲线焦半径公式:设双曲线为：(x/a)² -(y/b)²=1 焦点为f(c,0) ,准线为：x= ±a²/c 设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点 则a到准线的距离为：|x±a²/c|=x±a²/c 由双曲线的第二定义得：fa/|c±a²/c| = e 所以 fa = e*(x ±a²/c)= (c/a) *(x ±a²/c) = ex ± a 椭圆焦半径：f1为左焦点,f2为右焦点.（这个可以从增减性看出来,所以符号不用背啦）|pf1|=a+ex0.|pf2|＝a-ex0． 即当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的左、右焦半径分别是 |pf1|=a+ey0,|pf2|=a－ey0

双曲线各量计算公式

双曲线各量

计   算   公   式

[曲率半径]R

式中r1, r2为焦点半径，p为焦点参数，a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B的曲率半径

[弧长]=

式中e为离心率

[面积]     S

弓形(AMN)的面积：

OAMI的面积：

这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ

Answer 2

一、圆
[圆的方程、圆心与半径]

方程x²+ y²= R²

圆心与半径
圆心 G(0,0)
半径 r = R

(x -a)²+(y - b)²= R²
圆心 G(a, b)
半径 r = R

x²+y²+2mx + 2ny + q = 0
m²+ n²> q
圆心 G(-m,-n)
半径

r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2 (极坐标方程)

圆心 G(r0,j0)
半径 r = R

x2 + y2 = 2Rx
或r= 2Rcosj
(极坐标方程)

圆心 G(R, 0)
半径 r = R
[圆的切线]
圆 x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y = R²
圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0
[两个圆的交角、圆束与根轴]

方程与图形

公式与说明

两个圆的交角
C1 x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0
C2 x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0
两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆C1和C2正交条件为
2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0

圆束× 两个圆的根轴
C1+ lC2 = 0 (l为参数)
或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+lm2)x
+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0
根轴方程为2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0

对l(l¹-1)的一个确定值，表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.
(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).
(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).
(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).
从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.

[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：
（i）O, M, M¢共线，
（ii）OM× OM¢= r2，
这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.
由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为

反演具有性质：

1° 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.
2° 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
3° 通过反演中心的一条直线变为它自己.
4° 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
5° 反演圆变为它自己.
6° 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
7° 如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.
8° 如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.
9° 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换。
焦点弦长公式:r=ep/(1-ecosθ）,e是离心率,p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角,是极坐标中的表达式,根据e与1的大小关系分为椭圆,抛物线,双曲线.可以用第二定义证.双曲线焦半径公式:设双曲线为：(x/a)² -(y/b)²=1 焦点为f(c,0) ,准线为：x= ±a²/c 设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点 则a到准线的距离为：|x±a²/c|=x±a²/c 由双曲线的第二定义得：fa/|c±a²/c| = e 所以 fa = e*(x ±a²/c)= (c/a) *(x ±a²/c) = ex ± a 椭圆焦半径：f1为左焦点,f2为右焦点.（这个可以从增减性看出来,所以符号不用背啦）|pf1|=a+ex0.|pf2|＝a-ex0． 即当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的左、右焦半径分别是 |pf1|=a+ey0,|pf2|=a－ey0
双曲线各量计算公式

双曲线各量

计 算 公 式

[曲率半径]R

式中r1, r2为焦点半径，p为焦点参数，a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B的曲率半径

[弧长]=
式中e为离心率

[面积] S

弓形(AMN)的面积：

OAMI的面积：
这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ