Question

曲线y=(x-1)^2(x-3)^2拐点个数

张宇高数18讲中 由y的一阶导数求出三个驻点1 2 3，再由罗尔定理直接判断出（1,2） （2,3）中分别有两个二阶导数为零的点，然后直接得出有两个拐点。
为什么没有判断二阶导数为零的点的两边，二阶导数是否异号，就可以直接判断是2个拐点？

Answer 1

曲线 y=(x-1)^2*(x-3)^2的拐点的个数为2。

y”=[(x-1)^2]”*(x-3)^2+2[(x-1)^2]’*[(x-3)^2]’+[(x-1)^2]*[(x-3)^2]”

=2[（x-3)^2+4(x-1）*(x-3)+4(x-1)^2-3(x-1)^2]=2[（x-3+2（x-1)）^2-3(x-3)^2]

y”=0，只有2个不同实根（不用解出），而y”为2次多项式。

所以其2个不同实根的2边的值变号，（从2次函数图形可看出）。

所以这2个不同实根为y=(x-1)^2*(x-3)^2的拐点。

扩展资料：

驻点与拐点：

函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆。

“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点。另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）。因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”。

拐点是导数符号发生变化的点。拐点可以是相对最大值或相对最小值。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。

在驻点处的单调性可能改变，在拐点处凹凸性可能改变。驻点：一阶导数为零。

Answer 2

对二阶导数再次使用罗尔定理，就只剩一个三阶导数为零的点，所以至少有一个二阶导数为零的点的三阶导数不为零，此点即为拐点；由于函数对称，拐点个数是偶数个，所以两个二阶导数为零的点都是拐点，由此得证～

Answer 3

因为二阶导的零点个数只有一个，那么三阶导就没有零点，所以，二阶导为零的那个点必为极值，由极值的充分条件，该点的一阶导数值必为零，1和3都不是，必为2。好好看看十八讲的知识点。

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 5

可以这样做，但这么复杂很多。我是20版的18讲，后面有注：可算出使y的二阶导为零的点x=2±√3/3,再判断异号。