Question

设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且（A*)-1=(A-1）*

（A*)-1表示A*的逆矩阵，（A-1）*表示A的逆矩阵的伴随阵
请大家帮帮忙哦，感激了

Answer 1

A可逆，所以|A|≠0，由 AA*＝|A|I 得 |A*|≠0，所以 A* 可逆

要证明（A*)-1=(A-1)*，只需证明：A*×(A-1)*＝I.

因为AA*＝|A|I，(A-1)(A-1)*＝|A-1|I，所以

A*＝|A|(A-1)，(A-1)*＝|A-1|A

所以，A*×(A-1)*＝|A|(A-1)×|A-1|A＝|A|×|A-1|[(A-1)×A]＝I

所以，（A*)-1＝(A-1)*

Answer 2

1：A·A*=A的绝对值·E 2： A（-1）·（A-1）*=E/绝对值A，两边同乘以A，联系式子1，得到（A-1）*=E/A*=(A*)-1 gaoding