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2018-08-04
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如图所示,延长CO分别交AB、AD于点E、F,延长DO交圆O于点G,连接AG、CG。
因为DG为圆O直径,所以CG⊥CD⊥AB,即有CG∥AB ①,四边形ABCG为等腰梯形,
有AG=BC=8,因为OH⊥CD,所以OH为△CDG的中位线,
有2OH=CG=BD,所以∠BCD=∠CDG=∠FCD,
因为∠CFD=180°-∠FCD-∠FDC=180°-∠BCD-∠ABC=180-90°=90°,
所以点F在等腰△OAD中为AD的中点,即有OF为△ADG的中位线,
易知AG∥OF ②,OF=AG/2=4,所以△OAD的面积=AD×OF÷2=AD×4÷2=12,
算得AD=6,即AF=DF=3,在直角△OAF中根据勾股定理算得OA=OC=5,
由①②可知四边形AECG为平行四边形,有AE=CG=BD,AG=CE=8,
所以EF=CF-CE=OC+OF-CE=5+4-8=1,
在直角△AEF中根据勾股定理算得AE=CG=BD=√(AF²+EF²)=√(3²+1²)=√10。
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延长DO交⊙O于E,令AE的中点为F。
显然,DE是⊙O的直径,∴EC⊥CD,又OH⊥CD,∴EC∥OH,而OE=OD,
∴EC=2OH,又BD=2OH,∴EC=BD,∴BC∥DE。
-----
∵EC⊥CD、AB⊥CD,∴AE=BC=8。
∵OE=OA、AF=EF,∴OF⊥AE,∴(1/2)AE·OF=S(△OAE)=S(△OAD)=12,
∴(1/2)×8·OF=12,∴OF=3,∴由勾股定理,容易求得:OE=5,∴DE=10。
-----
∵AE=BC,∴梯形BCED的高h=OF=3。
显然,梯形BCED是等腰梯形,∴BD^2=[(DE-BC)/2]^2+h^2=10,∴BD=√10。
显然,DE是⊙O的直径,∴EC⊥CD,又OH⊥CD,∴EC∥OH,而OE=OD,
∴EC=2OH,又BD=2OH,∴EC=BD,∴BC∥DE。
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∵EC⊥CD、AB⊥CD,∴AE=BC=8。
∵OE=OA、AF=EF,∴OF⊥AE,∴(1/2)AE·OF=S(△OAE)=S(△OAD)=12,
∴(1/2)×8·OF=12,∴OF=3,∴由勾股定理,容易求得:OE=5,∴DE=10。
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∵AE=BC,∴梯形BCED的高h=OF=3。
显然,梯形BCED是等腰梯形,∴BD^2=[(DE-BC)/2]^2+h^2=10,∴BD=√10。
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