Question

求数学大神手写谢谢啦

Answer 1

f(x)=xlnx-ax²,x∈(0,+∞)
f'(x)=lnx+1-2ax,x∈(0,+∞)
设g(x)=f'(x)=lnx+1-2ax
g'(x)=(1/x)-2a,x∈(0,+∞)
a≤0时
g'(x)>0,g(x)即f'(x)在(0,+∞)上单增,
f'(x)最多有一个零点,f(x)最多有一个极值点
得 a≤0不可取
a>0时,g'(x)=-2a(x-(1/(2a))
x∈(0,1/(2a)),g'(x)>0,g(x)在其上单增,值域(-∞,g(1/(2a)))
x∈(1/(2a),+∞),g'(x)<0,g(x)在其上单减,值域(-∞,g(1/(2a))
g'(1/(2a))=0,g(x)在x=1/(2a)处取极大值,也是最大值g(1/(2a))
g(1/(2a))≤0时,g(x)即f'(x)最多有一个零点,不可取
g(1/(2a))>0时,g(x)即f'(x)有两个零点,可取
得a>0时,a可取的充要条件是g(1/(2a))=-ln(2a)>0
解得0<a<1/2
所以 a的取值范围是0<a<1/2