Question

多项式x^6+x^3+1在有理数域是否可约？

Answer 1

由f(x) = x^6+x^3+1是x^9-1的因式,不难求出f(x)的6个根:
e^(±2πi/9),e^(±4πi/9),e^(±8πi/9).
可设f(x) = g(x)h(x),其中g,h都是首一的整系数多项式.
由实系数多项式虚根成对,e^(±2πi/9)要么同时是g(x)的根,要么同时是h(x)的根.
于是g(x)或h(x)含有因式(x-e^(2πi/9))(x-e^(-2πi/9)) = x^2-2cos(2πi/9)x+1.
同理,g(x)或h(x)含有因式x^2-2cos(4πi/9)x+1,以及x^2-2cos(8πi/9)x+1.
因此,若g(x)或h(x)次数都不小于1,则次数必为2,4分组.
其中2次因式必为上述三者之一.
但这三个都不是整系数多项式,矛盾.
故f(x)不可约.
注1:这道题比较特殊,x^6+x^3+1其实是一个分圆多项式.
从抽象代数的角度可以立即知道其不可约.
注2:虽然f(x) = x^2+x+1不可约,但是f(x^2) = x^4+x^2+1 = (x^2-x+1)(x^2+x+1)是可约的.
这是给楼下的反例.
注3:讨论整系数多项式分解的另一种办法是考虑mod p意义下的分解.
比如x^6+x^3+1其实是mod 2不可约的,所以在有理数域上也不可约 (反过来是不成立的).