Question

求和级数怎么做

Answer 1

解：设S(x)=∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)。∴原式=xS(x)。
∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R<1，∴丨x丨<R=1，即收敛区间为丨x丨<1。
当x=±1时，级数∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)=∑(-1)^n/(2n+1)或者-∑(-1)^n/(2n+1)，是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛；∴收敛域为丨x丨≤1。
由S(x)两边对x求导、在其收敛区间内，有S'(x)=∑(-1)^nx^(2n)=1/(1+x²)。两边积分，
∴S(x)=∫(0,x)dx/(1+x²)=arctanx。∴原式=xarctanx，其中丨x丨≤1。
供参考。