Question

齐次线性方程组有非零解的条件

为什么条件是系数矩阵的秩＜未知数个数n，而不是＜矩阵的行数m？有非零解不应该等价于有非零行吗，那不就等同于系数矩阵的秩＜矩阵行数m吗？实在想不明白

Answer 1

齐次线性方程组有非零解的条件是：它的系数矩阵的秩r小鱼它的未知量的个数n。

齐次线性方程组是常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

扩展资料：

齐次线性方程组的性质：

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

Answer 2

齐次线性方程组只有零说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）,即A的秩r（A）=未知数的个数n A为列满秩矩阵
齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解A的秩 小于未知数的个数n

Answer 3

齐次线性方程组只有零说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解）,即A的秩r（A）=未知数的个数n A为列满秩矩阵
齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解A的秩 小于未知数的个数n

Answer 4

有非零解的充分必要条件是系数行列式为零
系数行列式=(a+2)(a-1)^2=0
a=-2或a=1时
矩阵向量的方法解
系数矩阵化为
1
1
a
0
a-1
1-a
0
0
(1-a)(a+2)
要使有非零解
(1-a)(a+2)=0,得a=1,或a=-2
行列式法方便

Answer 5

1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
如果系数矩阵是这个，它有非零解。你看它满足你说的条件吗？

追问

噢噢，也就是说我上面说的秩＜行数m只是有非零解的一种特殊情况对吧，可是我还是理解不了为什么秩＜未知数个数n（矩阵列数），你能解释一下吗

追答

我的例子秩等于3，行数也是3，没有你说的小于啊。
再给你个例子
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 1 0
这个矩阵的秩等于2，行数是4。它有非零解。

追问

谢谢你的例子