Question

线性代数一道题求解

Answer 1

由于2是二重特征值，且可对角化，则(A-2I)X=0，基础解系中必有2个解向量，

从而r(A-2I)=1
则
-1 -1 1
a 2 b
-3 -3 3
秩等于1
即
-1 -1 1
-a/2 -1 -b/2
0 0 0
秩为1
因此，
-a/2=-1
-b/2=1
解得
a=2
b=-2

追问

为什么(A-2I)X就是0?这用的什么定理?

明白了

https://zhidao.baidu.com/question/1802023706024992627.html

求解这道题

Answer 2

由于A可对角化
二重特征值有两个线性无关的特征向量
因此r(A-2E)=1
下面就计算r(A-2E)
-1　　-1　　　1
a　　　2　　　b
-3　　-3　　　3
把第2行加上第1行*2
第3行减去第1行*3
-1　　　-1　　　1
a-2　　　0　　　b+2
0　　　　0　　　0
答案是：a=2，b=-2

追问

https://zhidao.baidu.com/question/1802023706024992627.html

麻烦看下这道题

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追问

https://zhidao.baidu.com/question/589371424973911885.html

这个能打开吗

追答

(1)
由4A^2-I=0得：A^2=I/4
设A的特征值是λ，特征向量是x
即：Ax=λx
左乘A就得：x/4=λAx=λ^2x
所以：λ^2=1/4
λ=1/2或-1/2
(2)
设λ=1/2有k个线性无关的特征向量
即：r(2A-I)=n-k
这意味着2A-I有n-k个线性无关列
又由4A^2-I=0得
(2A+I)(2A-I)=0
这表明2A-I的n-k个线性无关列又是λ=-1/2的特征值
所以：r(2A+I)≤n-(n-k)=k
于是：r(2A-I)+r(2A+I)≤n
又：r(2A-I)+r(2A+I)≥r(4A)
上面已证A是满秩的
所以有：r(2A-I)+r(2A+I)=n