一道极限题和一道积分题
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解：第1题，转化成定积分求解。∵[(n!)^(1/n)]/n=[(n!)/n^]^(1/n)=e^[(1/差坦n)∑ln(k/n)]，k=1,2，……，n，
∴按照定积分的定义，原和粗式=e^[∫(0,1)lnxdx]=1/e。
第2题，设I=∫(0,π/2)(sinx)^πdx/[(sinx)^π+(sinx)^π]。令x=π/2-t，∴I=∫(0,π/2)(cost)^πdx/[(sint)^π+(sint)^π]。
与未换元前的I相加，有唤庆镇2I=∫(0,π/2)dx=π/2。∴原式=I=π/4。
供参考。
∴按照定积分的定义，原和粗式=e^[∫(0,1)lnxdx]=1/e。
第2题，设I=∫(0,π/2)(sinx)^πdx/[(sinx)^π+(sinx)^π]。令x=π/2-t，∴I=∫(0,π/2)(cost)^πdx/[(sint)^π+(sint)^π]。
与未换元前的I相加，有唤庆镇2I=∫(0,π/2)dx=π/2。∴原式=I=π/4。
供参考。
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