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解:设S(x)=∑x^(n+1)/[n(n+1)]。连续两次由S(x)对x求导,有S''(x)=∑x^(n-1)。
当丨x丨<1时,∑x^(n-1)=1/(1-x)。∴S'(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。
S(x)=-∫(0,x)ln(1-x)dx=(1-x)ln(1-x)+x。
又,x=±1时,级数∑1/[n(n+1)]、-∑(-1)^n/[n(n+1)]均收敛。∴S(x)的收敛域为x∈[-1,1]。
令x=-1,∴∑(-1)^n/[n(n+1)]=1-2ln2。
供参考。
当丨x丨<1时,∑x^(n-1)=1/(1-x)。∴S'(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。
S(x)=-∫(0,x)ln(1-x)dx=(1-x)ln(1-x)+x。
又,x=±1时,级数∑1/[n(n+1)]、-∑(-1)^n/[n(n+1)]均收敛。∴S(x)的收敛域为x∈[-1,1]。
令x=-1,∴∑(-1)^n/[n(n+1)]=1-2ln2。
供参考。
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2024-08-19 广告
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