Question

线性代数 秩

线性代数 秩红色笔圈出来那项是什么意思

Answer 1

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

拓展资料

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

参考资料：百度百科 - 矩阵的秩

Answer 2

如图

追问

最后一个逻辑没懂。为什么|A|=0,则r(A)<=N
-1

追答

追问

是行列式≠0还是矩阵≠0

追答

行列式，笔误