Question

高等数学，求积分

高等数学，求积分请问第61题怎么做？两个锥面围起来的立体，应该是两个圆锥扣在一起呀，为什么看答案对φ积分限的意思，好像是只考虑了下面的圆锥？还有就是，①处的积分上限根号2是怎么得到的，应该是z=1时二者相交呀...
谢谢！

Answer 1

## 球坐标系积分

注意z=√2-x^2-y^2平方后是x^2+y^2+z^2=2表示上半球面，所以积分区域并不是两个锥面围成的，而是一个球面和一个锥面。而图中解析用的是球坐标系积分：

追问

我搞错了，应该是球和锥面的

但是，请问球坐标下积分时，对于r的积分上限，难道不是立体图形在xOy面上的投影的相应的r的范围吗？

比如这道题，积分区域的立体在xOy面上的投影为一个以原点为圆心，半径为1的圆，那么r的积分上限应该是1呀？为什么题目用了√2？

追答

不是，你那是柱坐标系积分求截面r的区间的方法。球坐标系的r是原点发出的射线到球面的距离，也就是[0,√2]

追问

谢谢

Answer 2

第二个曲面z可知x²+y²≤2即r=√2

追问

那得是x^2+y^2=0时，z=√2，才有圆的半径为根号2，但这个区域不在两个圆锥所围成的区域之内啊

追答

这是r的上限

0≤x²+y²≤2

追问

可是。。

xOy面上，才有r=根号2，但是画斜线部分才是两个圆锥面所围成的体积呀

所围成的体积中，在z=1时r最大，为1。

所围成的体积在xOy面上的投影，是一个半径为1的圆吧？？为啥要用r=根号2呢？