Question

近世代数的相关问题

近世代数的相关问题如图

Answer 1

1、f可逆等价于存在g:S'->S使得fg=1S',gf=1S,故f是双射
2、显然有限集只有有限多个子集，故有限群只有有限个子群
反之，G只有有限个子群，G=∪<g>，g∈G。每个<g>必是有限循环群，因为Z有无穷多个子群nZ，但<g>作为G的子群只有有限个，有限个有限集之并仍有限，故G是有限群
3、Z18的6阶子群H由3生成且唯一，H=<3>={0,3,6,9,12,15}，H恰有φ(6)=2个生成元，一个是3，另一个是-3
4、由Sylow定理，q阶子群个数为1+kq且1+kq│p,但p<q,故k=0,即G恰有1个q阶子群。