Question

高数极限和导数的定义问题，希望数学大神予以讲解。

最近做题做到了考研数二04年选择题第十题。大意是这样已知连续函数f（x），且f（0）的导数大于0，则存在ε＞0，有（）A.在（0，ε）单调递增 C.f（ε）＞f(0)老实说，我很想跳过这个小问题记住答案就是了。选c是因为极限保号性，我是知道的。但是我看见网上很多人举例子什么震荡函数，我不知道对不对，因为题目中函数连续，我不知道什么样子的连续函数，能保证一点有导数周围没有，也不能明白为什么这一点有增大趋势却没有增大。后来我想到一个分段函数推出A的毛病，就是当x不等于0时，是常值函数1，当x=0时，它是e的x次方，这样的函数连续，而且不会递增，可是这样的话，C为什么会是对的呢，极限的保号性我是越发的迷了。导数的保号性来自极限和极限的关系我越来越混淆了，我查阅网上很多，但是不能让我明白，我是一个不想轻易放弃任何细微的人，这样学后面我会难受、抓狂。网上我得到的内容：1.存在震荡函数，极小的邻域内也会有增减，那震荡函数是连续函数吗？就算增减就没有最初的那一小段点增吗？2.导数的一个点，无法判断一个邻域也就是一个范围的增减情况。行吧..但是为什么通过这一个利用函数极限的保号性能判断出C？因为定义吗dy除dx，那定义是不是有问题呢，我给出的函数例子是不是存在问题请您们指出。3.保号性的定义是什么？假设函数的极限存在且大于0，那么函数在某邻域>0。而现在一点的导数>0，充其量只能保证增量商在某邻域大于0，也就是这个比值函数在某邻域大于0，而并不是导数的值大于0，一个是极限，一个函数的值，区别很大。（网上的，我没理解到）

Answer 1

应试：

首先可以排除B、D选项，导数大于零怎么都不会选到B、D，故排除。

剩下A、C选项中，若A正确则C一定也正确，反之则不行，因为是单选题，故只选C。

知识点：

一个点的导数大于零，并不能推出该点的去心领域单调递增，如下：

但是一个点的导数大于零，可以通过导数的定义和极限的保号性证明选项C成立：

追问

老师你的意思我还是明白的。这个函数我也看见有人答过，就像你给的答案中那样，左边应该比右边低，右边应该比左边高，但是不能说明它单增所以让我很费解。我们解释的方法就是通过分段函数进行拆解，确实有无穷无尽更小的区间存在邻域导数是负的，但是这点导数大于0也是确实的。我觉得好像没有办法强行解释，也没人给我更好的答案。本来极限也就是趋近也没有完完全全整整齐齐。举这样子的特例也算是了却我心结了。
谢谢你给我解答

追答

如图，可以想象这样一条函数，它不断抖动同时向上。要用极限思维，想象这些抖动都非常小。

这种函数就是符合C选项但不符合A选项。

因为它并不是单调函数，但同时后面任何一点都比f(0)要大。

（这也只是本人自己脑补的一种猜想，如有错误欢迎各路大神批评指正！）