Question

旋转曲面在极坐标下的面积公式是什么（高数）？

Answer 1

绕极轴的旋转，其面积=∫2πy ds =∫2πrsinθ√（r^2+r'^2) dθ，where s is arc length。

推导：y = rsinθ；（ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = ((-rsinθ＋r'cosθ）dθ）＾2 + ((rcosθ＋r'sinθ）dθ）＾2 =（r^2+r'^2)(dθ）＾2。

说明：

（1）纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线。

（2）旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线。

（3）任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。

Answer 2

旋转曲面的面积F的微元dF=2πyds=2πy√[x'²+y'²]dθ。

曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线；曲面上任一位置的母线称为素线。母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。

在约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线；控制母线运动的平面称为导平面。

当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。

如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。

直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。

如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面，则属于不可展曲面。

曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是应作出决定该曲面各几何元素的投影，如母线、导线、导面等。

此外，为了清楚地表达一曲面，一般需画出曲面的外形线，以确定曲面的范围。

Answer 3

绕极轴的旋转，其面积 = ∫ 2πy ds = ∫ 2π rsinθ √(r^2+r'^2) dθ, where s is arc length.
推导：y = rsinθ; (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = ((-rsinθ+r'cosθ)dθ)^2 + ((rcosθ+r'sinθ)dθ)^2 = （r^2+r'^2)(dθ)^2