Question

高数反三角函数问题 请问这一步怎么出来的

请问图中这个怎么出来的

Answer 1

有句名言：只有一 一对应的函数才有反函数。正弦函数y=sinx的定义域为R；在其全部定义域

内是一个多对一或一对多的函数，因此在其全部定义域内没有反函数；为了使y=sinx有反函数

规定：定义域x∈[-π/2，π/2]；值域y∈[-1，1]，在此规定下有 x=arcsiny，交换x，y得反函数

y=arcsinx,  x∈[-1，1]；y∈[-π/2，π/2]；这是题外话。下面回答你的问题：

由y=sinx，不交换x，y，得x=arcsiny，将y=sinx代入，即得arcsin(sinx)=x；此式成立的条件

是：x∈[-π/2，π/2]；[注意：后面所有小写的x∈[0，π/2]，即x是一个正的锐角].

如果想在x∉[-π/2，π/2]时使用上式，就要作些变动：【注意x小写(x)和大写(X)的区别】

当X∈[π/2，π]时，arcsin(sinX)=arcsin[sin(π-x)]=π-arcsin(sinx)]=π-x；

当X∈[π，3π/2]时, arcsin(sinX)=arcsin[sin(π+x)]=π+arcsin(sinx)=π+x;

当X∈[3π/2，2π]时，arcsin(sinX)=arcsin[sin(2π-x)]=2π-arcsin(sinx)=2π-x；

当X∈[2π，5π/2]时，arcsin(sinX)=arcsin[sin(2π+x)]=2π+arcsin(sinx)=2π+x；

 。。。。。。。。。。。。。。。。

下面我用个图加以说明，从图看得更清楚：

所以

追问

你好 我不懂的就是你图片上的 我知道当 π/2≦x≦3π/2时，arcsin(sinx)=π-x 但是还是不懂呀 能再详细讲解一下吗

追答

已修改正文，修改后的正文回答了你的追问。

Answer 2

定义域

追问

你好 我不明白的地方是 我知道在这个积分限内 x=pai-arcsiny 但是题目那一步怎么变得

Answer 3

解答如下：

追问

你好 我知道在这个积分限内 x=pai-arcsiny 但是题目那一步是怎么变的

追答

就是直接用π-x代替了arcsin(sinx)

积分限没变化，arcsin(sinx)与π-x相等，用后者代替了前者啊

追问

我就是不明白为什么arcsin(sinx)与π-x相等 没别过来这个弯 是将x=pai-arcsiny 代入吗
但我听老师的意思是好像是将arcsiny带入

追答

用初等数学的方法怕是很难证明这个恒等式

仔细看了一下，可以这样来证明这个恒等式：
∵x∈[3π/4, π]时，(π-x)∈[0, π/4]含于反正弦函数的值域内，
∴由sin(π-x)＝sinx有
π-x＝arcsin(sinx).

Answer 4

不看定义域的情况下，arcsin（sinx）=x。 对一个函数求它的反函数，不就是等于x自身嘛。 复合定义域之后就等于π-x了

追问

你好 我不明白的地方是 我知道在这个积分限内 x=pai-arcsiny 但是题目那一步怎么变得

Answer 5

令 u = x-π， 则 x = π+u， -π/4 ≤ u ≤ 0，在主值区间内 arcsin(sinu) = u
得 arcsin(sinx) = arcsin[sin(π+u)] = arcsin(-sinu) = -arcsin(sinu) = -u = π-x

追问

你好 我想要的解释不是换元到主值区间的 我就想要π/2≦x≦3π/2时，arcsin(sinx)=π-x 这样怎么出来的

追答

因不在主值区间 arcsin(sinx) 不等于 x。
熟炼的人直接就可写出，在 π/2 ≦ x ≦ 3π/2 内，arcsin(sinx) = π-x
本解法就是详细证明，在 π/2 ≦ x ≦ 3π/2 内，arcsin(sinx) = π-x

变量变换到主值区间只是证明过程采用的手段，并不是目的。