Question

f (x) 在 (-∞,+∞) 二阶可导，f"(x)≠0,证明:存在惟一的θ(x)(0<θ(x)<1),使得f'(x)=f(0)+x f'(xθ(x))？

设在f (x) 在 (-∞，+∞） 内二阶可导，且f"(x)≠0,证明：对于任何非零实数x，存在惟一的θ(x),(0<θ(x))<1),使得f'(x)=f(0)+x f'(xθ(x))

Answer 1

不妨设f'(a) > 0, 由f'(x)可导故连续, f’(x)在a的一个邻域内 > 0.
f(x)在a的一个邻域内严格增, 在其中有f(x) > f(a) = 0.
同理, 在b的一个邻域内有f(x) < f(b) = 0.
而f(x)连续, 由介值定理, 存在r∈(a,b), 使f(r) = 0.
考虑g(x) = f(x)·e^(-x).
由g(x)在[a,r]连续, 在(a,r)可导, g(a) = g(r) = 0.
由罗尔定理, 存在s∈(a,r), 使g'(s) = 0.
有(f'(s)-f(s))·e^(-s) = 0, 即有f'(s)-f(s) = 0.
同理, 存在t∈(r,b), 使f'(t)-f(t) = 0.
考虑h(x) = (f'(x)-f(x))·e^x.
由h(x)在[s,t]连续, 在(s,t)可导, h(s) = h(t) = 0.
由罗尔定理, 存在c∈(s,t), 使h'(c) = 0.
有(f"(c)-f'(c))·e^c = 0, 故f"(c) = f(c).