Question

一道函数极限问题

Answer 1

0<a<b<1时，
a^x->0, b^x->0,
lim_{x->+无穷}xa^x = lim_{x->+无穷}x/(1/a)^x = lim_{x->+无穷｝1/[ln(1/a)*(1/a)^x] = 0,
同理，lim_{x->+无穷｝xb^x = 0.
原式＝[(1+0)/(1+0)]^0 = 1^0 = 1.
0<a<1<b时，
a^x ->0, b^x->＋无穷。
xa^x ->0, xb^x ->+无穷。
[(1+xa^x)/(1+xb^x)]^(1/x^2) = exp{1/x^2[ln(1+xa^x) - ln(1+xb^x)]},
lim_{x->+无穷}ln(1+xb^x)/x^2 = lim_{x->+无穷｝1/(1+xb^x)*[b^x+xln(b)b^x]/(2x)
= lim_{x->+无穷｝[1+xln(b)]/[2x(x + 1/b^x)]
= lim_{x->+无穷｝[1/x + ln(b)]/[2(x + 1/(xb^x)]
= 0.
lim_{x->+无穷｝ln[1+xa^x]/x^2 = 0.
原式＝exp{0} = 1.
1<a<b时，a^x->＋无穷，b^x->＋无穷，xa^x->+无穷，xb^x->＋无穷。
lim_{x->+无穷｝[1+xa^x]/[1+xb^x] = lim_{x->+无穷｝[1/(xa^x) + 1]/[1/(xb^x) + 1] = 1,
原式＝1^0 = 1.
0<b<a<1时，
a^x->0, b^x->0,
lim_{x->+无穷}xa^x = lim_{x->+无穷}x/(1/a)^x = lim_{x->+无穷｝1/[ln(1/a)*(1/a)^x] = 0,
同理，lim_{x->+无穷｝xb^x = 0.
原式＝[(1+0)/(1+0)]^0 = 1^0 = 1.
0<b<1<a时，
b^x ->0, a^x->＋无穷。
xb^x ->0, xa^x ->+无穷。
[(1+xa^x)/(1+xb^x)]^(1/x^2) = exp{1/x^2[ln(1+xa^x) - ln(1+xb^x)]},
lim_{x->+无穷}ln(1+xa^x)/x^2 = lim_{x->+无穷｝1/(1+xa^x)*[a^x+xln(a)a^x]/(2x)
= lim_{x->+无穷｝[1+xln(a)]/[2x(x + 1/a^x)]
= lim_{x->+无穷｝[1/x + ln(a)]/[2(x + 1/(xa^x)]
= 0.
lim_{x->+无穷｝ln[1+xb^x]/x^2 = 0.
原式＝exp{0} = 1.
1<b<a时，a^x->＋无穷，b^x->＋无穷，xa^x->+无穷，xb^x->＋无穷。
lim_{x->+无穷｝[1+xa^x]/[1+xb^x] = lim_{x->+无穷｝[1/(xa^x) + 1]/[1/(xb^x) + 1] = 1,
原式＝1^0 = 1.
综合，有，
原式＝1。