Question

高等数学积分？

例27，第一部没看明白，第一部应该是要用反对幂三指吧，不是应该把sin（lnx）的原函数写后面吗

Answer 1

本题不建议分部积分，因为这样会导致循环。通过三角函数与指数函数的关系式

将三角函数化为指数函数，被积函数即化为幂函数的线性组合，避免循环。具体过程如下：

Answer 2

积分第一中值定理：如果f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得：∫(a,b)f(x)g(x)dx=f(ξ)*∫(a,b)g(x)dx
来看∫(a,π-a) [√(u+π)-√u]/√[u(u+π)]*sinudu
因为在[a,π-a]上，g(u)=[√(u+π)-√u]/√[u(u+π)]恒大于0，且sinu和g(u)在[a,π-a]上连续
所以存在ξ∈[a,π-a]，使得
∫(a,π-a) [√(u+π)-√u]/√[u(u+π)]*sinudu
=sinξ*∫(a,π-a) [√(u+π)-√u]/√[u(u+π)]du
>=sina*∫(a,π-a) [√(u+π)-√u]/√[u(u+π)]du

Answer 3

Answer 4

第一步用的分部积分。
分部积分的结果又回到原积分， 最后用解方程的方法求出积分。不是死循环。

类似的还有 ∫e^(ax)sinbxdx, ∫e^(ax)cosbxdx 等。

Answer 5