Question

高二数学数列题 求完整解答过程 必采纳

Answer 1

Answer 2

一：数列通项公式的求法
1、直接法，也就是看看数列的规律，例如1、2、3、4。。。A(n)=n;
2、累加法，主要是用于计算，给出的关系式中数列的前一项和后一项的系数相同，例如A(n)=A(n-1)+k;这样的题目的计算方法就是将左右两边的角码依次递减，A(2)=A(1)+k;A(3)=A(2)+k...以此类推，最后再将左右的所有项相加即可。这种一般的结果是A(n)=A(1)+k*(n-1);
3、叠乘法，具体方法和累加法差不多，不过它一般适用于A(n)=k*A(n-1);这种形式，一般结果是A(n)=A(1)*k^(n-1);
4、构造法，一般是针对于a*A(n)=b*A(n-1)+k（这是最简单的形式，如果你们老师想难一点的话，完全可以再加上A(n-2)、A(n-3).....),举个简单的例子；A(n)=2*A(n-1)+1,将这个等式的两边同时加上1，你会发现左边等于A(n)+1,右边等于两倍A(n-1)+1，这样一来，左右的形式就一样了，然后再用上面的叠成法即可做出来。如果出现了分式，要先将分式变成这样的，然后构造就好了。或者用下面这个逆天的方法也是可以的
*5、（有兴趣的话也可以看看这种方法，我当时学的时候用这种方法就没有做不出来的通项公式！）特征方程法，具体做法是将数列转化成为方程，因为函数、数列、方程，三个本来就是一体的。举个例子，A(n)=3*A(n-1)-2*A(n-2)，可以将之转化成为x^2=3*x-2（如果出现了A(n-3)，则将A(n)换成x^3,A(n-3)换成1，依次类推即可）,然后你所需要做的就是将这个一元二次方程解出来，相信这应该是很简单的，得出x1=1,x2=2;所以，最后的结果就是A(n)=A(x1)^n+B(x2)^2,其中，A,B是需要通过题目给的A(1),A(2)确定的。完整的方法你要是想知道可以上网查一下，这里只是稍微提一下就好了，至于为什么能够这样做，大学里面会说，它的专业名称叫做差分方程。如果是分式，则是一样的，也是将角码最小的换成x^0，然后依次提高指数。然后，将等式两边同时减去解出来的两个解（一般是两个，一个的就是简单的了），可以构造成为叠乘的形式，进而求解。
通项公式知道这些方法就够应付高考了，还有其他的方法主要是要你自己总结。
二、关于数列求和
1、裂项相消。这主要就是利用分数的一个性质，比如说1/(n-1)*n=1/n-1/(n-1);后来的方法就和累加法差不多了，也是写了n-1个式子，将左右两边分别相加，你会发现左边就是和，而右边则只剩下了第一个和最后一个（有时候也会有常数项，不过那不影响，因为很简单的）。可能有时候分母的差不止1，如果是k，那么就在整个式子的前面乘以1/k;
2、错位相减。这个方法使用的范围是，一个等差数列乘以一个等比数列。举个最简单的例子，A(n)=2^n*n；
求这个式子的和，你要做的是先将两边同乘以等比数列的公比，这样就变成了
S(n)=A(n)+ A(n-1) +A(n-2)+…+ A(2)+ A(1)= 2^n*n+2^(n-1)*(n-1)+2^(n-2)*(n-2)+…+2^1*1;(#)
2*S(n)=2*A(n)+ 2*A(n-1) +2*A(n-2)+…+ 2*A(2)+ 2*A(1)= 2^(n+1)*n+2^n*(n-1)+2^(n-1)*(n-2)+…+2^2*1;(*)
将（#）（*）式中的等差数列项相同的项相减，就会得到左边是-S(n)(一般用上面的减下面的，不容易错)，右边等于2^n+2^(n-1)+ 2^(n-2)+…+ 2^(1)-2^(n+1)*n;后来的就很简单了，这里就不再赘述。
一般情况下，考试的范围就是在这两种之中，但是也不全是，这主要还是需要积累
（***）三、数列不等式的解法（顺便说一下）
1、 裂项相消，同上
2、 放缩，这在不等式里面会有
3、 赋值法，主要是为了知道有什么规律，然后从规律入手，事半功倍。
4、 构造函数法，将数列变为函数，根据对函数性质的解析，来解题，这要在学习了导数之后才比较好用
5、 还有当出现，数列是高次项的时候，比如二次方，要做的是两边同时求对数降次求解。遇到之后你就知道了
大概数列当中一般的题目都是在这里面的，当然还是需要你做一些新题型，学习一些新方法，毕竟科学总是要进步的不是，对了忘说了，所有的这些题型当中，数学归纳法一般都可以做的出来（除了出现了一边没有变化的情况），只要你逻辑够好，不怕麻烦，用数学归纳法绝对是好的选择，这简直就是在开挂啊（往事不堪回首。。。），最后，好好学习哈