Question

一道高数的极限题

Answer 1

用洛必达法则。答案1。
洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。法国数学家洛必达（Marquis de l'Hôpital）在他1696年的着作《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes）发表了这法则，因此以他为命名。但一般认为这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）首先发现的，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。
我们先打个不太准确的比方吧，我们把用钳子夹核桃的过程比作洛必达法则，求未定式的极限相当于吃核桃仁，如果你不借助钳子的话，是很难吃到核桃仁的（呃，麒麟臂的除外），我们把核桃壳的两部分当作未定式的分子和分母，用钳子夹核桃壳相当于分别对未定式的分子和分母进行求导。
再学术一点来说，就是用求导的方法来求极限，不过，这种方法有一定的限制。

我们不妨设 h(x) = f(x) / g(x) ，若要用洛必达法则来求h(x)的极限，则需要满足以下条件：

这些限制条件就好比钳子的张角，因为太小而无法满足大核桃的尺寸（好像有丶污......），这时就不能用洛必达法则求未定式的极限了。只有满足以上的条件的式子，才可以用洛必达法则来求极限。

举个栗子

上图为f(x)=x-sin x 和 g(x)=x^3 的图象，可看出 x - sinx 和 x^3 在x=0处可求导，(x^3)' ≠ 0 ,且它们的极限都为0，此时我们的主角--洛必达法则准备登场了，我们分别对未定式的分子和分母求导，就可以得到

然而这条式子还是求不出其极限，但是它符合使用洛必达法则的条件，接下来再用一次洛必达法则，可得，

我们求了两次导还没有求出这条式子的极限，但不要放弃哦，一而再，再而三，总会求出来的，再一次使用洛必达法则，得到（哇！求这么多次导的吗？？？），

这个极限问题就这样被洛必达法则轻松解决了（表面轻松）。
洛必达法则在求极限中经常会被用到，并且在求某些极限时更加方便，简单。我们都知道高数中有一个重要极

Answer 2

∞/∞, 洛必达法则
原式 = lim(x->0+) (cosx / sinx ) / (1/x)
= lim(x->0+) x / tanx
= 1

Answer 3

如果只有一个变量，可以的。多个变量不一定