Question

求解第六题 。利用单调有界数列必有极限证明其的极限存在并求出它

Answer 1

数列单调有界必有极限，不必拘泥于整个数列，可以把这个数列的前面任意有限项去掉以后，剩下的项单调有界就可以了，
6
这里的a，一般是指a>0，
显然有x[n]>0，
x[n+1]/x[n]=a/(n+1)，当 n 充分大，x[n+1]/x[n]<1/2
{x[n]}单调递减有界而且趋近于0，所以极限等于0，
但是题目没有说明a>0，a=0情况就不必说了，
如果要讨论a<0，那么只好分偶数项和奇数项，
偶数项显然有，x[2n]>0
x[2n+2]/x[2n]=a^2/[(2n+1)(2n+2)]，当 n 充分大，x[2n+2]/x[2n]<1/2
{x[2n]}单调递减有界而且趋近于0，
偶数项有类似结果，所以{x[n]}极限存在且等于0，
对于a<0情况，也可以考虑 |x[n]|