Question

高数 反三角函数等式证明

Answer 1

证:当x>=1时,
(arctanx)'=((1/2)arccos(2x/(1+x^2)))'=1/(1+x^2)
故将arctanx与(1/2)arccos(2x/(1+x^2))分别在x=1点处泰勒展开,可得:
arctanx=П/4+u(x-1),
(1/2)arccos(2x/(1+x^2))=u(x-1).(u(x-1)是幂级数)
所以aretanx-(1/2)arccos(2x/(1+x^2))=π/4.
(或用初等方法证明,两边取正切,亦可得证)