Question

这道极限题怎么计算

Answer 1

x->0
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^3)
sin2x= 2x -(1/6)(2x)^3 +o(x^3)
2sinx -sin2x
=2[ x-(1/6)x^3 +o(x^3)] - [2x -(1/6)(2x)^3 +o(x^3)]
=x^3 +o(x^3)
lim(x->0) (2sinx-sin2x)/(x^3.cosx)
=lim(x->0) (2sinx-sin2x)/x^3
=lim(x->0) x^3 /x^3
=1
let
2c/(x-c) = 1/y
lim(x->∞) [(x+c)/(x-c) ]^x = 1
lim(x->∞) [1 + 2c/(x-c) ]^x = 1
lim(y->∞) (1 + 1/y )^(2cy+c) =1
lim(y->∞) (1 + 1/y )^(2cy) = 1
e^(2c) =1
2c=0
c=0

Answer 2

(1)第一步是0/0型使用了罗必塔法则，但第二步不能再使用罗必塔法则了，因为二阶导数仅是存在而不一定连续，转为按导数定义。
（2）你的做法是错误的。
f'(x0)=lim [f(x0+h)-f(x0)]/h 没问题
但f'(x0-h)=lim [f(x0)-f(x0-h)]/h 是错误的，此极限也是f'(x0)
这样极限还是0/0型，无法判断最后数值。
如可能出现这种情形
f(x0+h)-f(x0)=hf'(x0)+Ah²+o(h²)
f(x0-h)-f(x0)=hf'(x0)+Bh²+o(h²)
那么原极限=A+B
不清楚A和B是无法计算的。