Question

已知矩阵和特征值，怎么求特征向量

Answer 1

Aα
一定等于
α
的某个倍数λ
，此倍数就是对应的特征值。
如果矩阵可对角化并且知道所有的特征值及对应的特征向量，那么可以用这些信息来还原矩阵
因为Ap1=p1λ1,
Apn=pnλn
A[p1,,pn]=[p1,,pn]diag{λ1,,λn}
A=[p1,,pn]diag{λ1,,λn}[p1,,pn]^{-1}
求出特征值之后，把特征值代回到原来的方成里，这样每一行的每一个数字都是已知的，就成了一个已知的矩阵。例如求的不同的特值有两个，2和3.将2带回你的方程，假设这个矩阵是A，以这个矩阵作为已知条件，来求方程。
也就是Ax=0的形式，把这个方程解出来。求得的所有无关的解向量，就是关于特征值2的特征向量。同理，再将3带回你的方程，得到的矩阵是B，求Bx=o的所有无关解向量。就是属于特征值3的特征向量。

扩展资料：
从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。
假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：
其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n
维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：
但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。
若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）
参考资料来源：搜狗百科-特征向量

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

特征值λ=1时
A-E=
1.5
1.5
1.5
1.5
r2-r1,r1/1.5
~
1
1
0
0
得到特征向量(1,-1)^T
特征值λ=4时
A-4E=
-1.5
1.5
1.5
-1.5
r2+r1,r1/(-1.5)
~
1
-1
0
0
得到特征向量(1,1)^T
即特征值λ=1和λ=4对应的特征向量为(1,-1)^T和(1,1)^T

Answer 4

如果矩阵可对角化并且知道所有的特征值及对应的特征向量，那么可以用这些信息来还原矩阵
因为ap1=p1λ1,
...
apn=pnλn
<=>
a[p1,...,pn]=[p1,...,pn]diag{λ1,...,λn}
<=>
a=[p1,...,pn]diag{λ1,...,λn}[p1,...,pn]^{-1}