Question

已知：四边形四边长分别为1,2,3,4 求：四边形的最大面积

Answer 1

设四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=(AB*BC*sinB)/2+(AD*CD*sinD)/2
=(1*2*/2)sinB+(3*4/2)*sinD,
只有当B=90度，D=90度时，正弦值最大为1，则面积最大，即四点同在以AC为直径的圆上，
S四边形ABCD（max)=1+6=7，(1)
同理
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=(AD*AB*sinA)/2+(BC*CD*sinC)/2
=（4*1*sinA)/2+(2*3/2)*sinC
S四边形ABCD（max)=2+3=5,(2)
对比（1）和（2）式，
四边形的最大面积为7.

Answer 2

最大面积四边形肯定是凹四边形且两对角线肯定为直角（把对角线画出来就可以证明的），因此可以看成求四个直角三角形的最大面积：
设对角线的四个线段分别为t,x,y,z
则
t^+x^=a^
x^+y^=b^
y^+z^=c^
z^+t^=d^
(^为平方的意思)
且四边形面积为四个三角形面积之和，分别为1/2xy,1/2yz,1/2tz,1/2tx
又
2xy小于等于x^+y^=b^
2yz小于等于y^+z^=c^
2zt小于等于z^+t^=d^
2xt小于等于t^+x^=a^
(当x=y=z=t时取等号）
故
1/2xy+1/2yz+1/2tz+1/2t小于等于1/4(a^+b^+c^+d^)
则四边形最大面积是1/4(a^+b^+c^+d^)
且这个和四个边长的顺序是无关的。。呼呼。。完了