Question

a,b,c>0,a+b+c=1,求证a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥1/2

Answer 1

c=-a-b代入化简即可
(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=[(a-b)ab+(b-c)bc+(c-a)ca]/(abc)
=[(a^2
b
-
ab^2)+(b^2
c
-
bc^2)+(c^2
a-ca^2)]/(abc)
=[ab(a-b)+(b^2
c
-
a^2
c)
+
(c^2
a
-
c^2
b)]/(abc)
=(a-b)(ab-ac-bc+c^2)/(abc)
=-(a-b)(b-c)(c-a)/(abc).(*)
设a-b=x,b-c=y,c-a=z,则x+y+z=0,
x-y=a-2b+c=-3b,y-z=b-2c+a=-3c,z-x=-3a
c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)
=[(y-z)/x+(z-x)/y+(x-y)/z](-1/3)
=-(x-y)(y-z)(z-x)/(xyz)
*
(-1/3).(类似*的证明)
=-(-3a)(-3b)(-3c)*(-1/3)/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=-9abc/[(a-b)(b-c)(c-a)]
故[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9
思路其实就是分别化简两个式子,看起来挺复杂,写起来挺多,其实算一下就会发现第一个式子的形式看起来很好,同理算得第二个式子.没试过直接相乘和其他方法,感觉也可以做.

Answer 2

利用柯西不等式
[a²/(b+c)+b²/(a+c)+c²/(a+b)]×[(b+c)+(a+c)+(a+b)]
>=[√(a²/(b+c)×(b+c))+√(b²/(a+c)×(a+c))+√(c²/(a+b)×(a+b))]²(取等:a²/(b+c)²=b²/(a+c)²=c²/(a+b)²,
即a=b=c)
上不等式即为
[a²/(b+c)+b²/(a+c)+c²/(a+b)]×[2(a+b+c)]>=(a+b+c)²
∴a²/(b+c)+b²/(a+c)+c²/(a+b)>=(a+b+c)/2