Question

微分方程讨论函数f(x,y)=ln(1+xy)/xy ,(x,y ≠0) ；1 ,(x,y)=(0,0)在点(0,0)出的连续性,

Answer 1

二次极限：
lim
y->0
f(x,y)
和
lim
x->0
f(x,y)都不存在
所以二次极限不存在
二重极限：
作极坐标变换：
x=acost
y=asint
于是
上式=
lim
a->0
[e^(acost)-e^(asint)]/(a^2sintcost)
lim
=
e^(acost)/2asint-e^(asint)/2acost
lim
=
0.5(tant+cott)
极限并不是一个与t无关的常数
所以
二重极限不存在！

Answer 2

沿随机直线y=kx求
lim
y=kx
x->0
=ln(1+kx²)/kx²
上下趋近於0
上下求导
=2kx/(2kx(1+kx²))
=1/(1+kx²)
x->0+,y->0+时，函数趋於1
x->0-,y->0-
时，函数趋於1
若x,y异号(从2,4象限趋近)，函数趋於1
所以函数连续