Question

求详细步骤 已知正实数a,b满足:1/a²+8/b²=1，则a+b的最小值是

Answer 1

3^0.5就是根号3的意思
换元，设a=1/sinx,
b=8^0.5/cosx，x在0到2pai
用
万能公式
sinx=
2t
/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),t属于R
于是a+b=(1+t^2)/(2t)+8^0.5(1+t^2)/(1-t^2)
(*)
上式
求导
后另等于零，解出t=-2^0.5+3^0.5或是t=-2^0.5-3^0.5
因为a>0,b>0,所以t只能能等于=-2^0.5+3^0.5
根据导数的知识，（*）取到最小值一定是t等于这时取到的
t=-2^0.5+3^0.5，（*)取到最小值3×3^0.5
答案是3根号3

Answer 2

a+b=1
所以原式=（a+b）/a+4（a+b）/b=(1+b/a)+(4+4a/b)=5+b/a+4a/b
根据均值不等式：原式≥5+2根号（4a/b*b/a）=5+2根号4=5+4=9
所以a分之1加b分之4的最小值为9