Question

已知｛an｝是等差数列，d是公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，

Answer 1

1）在等差数列{an}中，对一切n∈N*，有Sn=n(a1+an)
2
，则sn
n
=1
2
(a1+an)
这表明点（an，sn
n
）适合方程y=1
2
（x+a1），
于是点（an，sn
n
）均在直线y=1
2
x+1
2
a1上．
（2）设（x，y）∈A∩B，
则x，y是方程组
y=1
2
x+1
2
a1
1
4
x2-y2
=1
的解，
由方程组消去y得2a1x+a12=-4，
当a1=0时，方程2a1x+a12=-4无解，
此时A∩B=∅；
当a1≠0时，
方程2a1x+a12=-4只有一个解x=-4-a12
2a1此时，方程组只有一解，
故上述方程组至多有解
x=-4-a12
2a1
y=a12-4
4a1
，
∴A∩B至多有一个元素．
（3）取a1=1，d=1，对一切的n∈N*，
有an=a1+（n-1）d=n＞0，sn
n
＞0，
这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，
另外，由于a1=1≠0，如果A∩B≠∅，
那么根据（2）的结论，A∩B至多有一个元素（x0，y0），
而x0=-4-a12
2a1
=-5
2
＜0，y0=a12-4
4a1
=-3
4
＜0，这样的（x0，y0）∉A，产生矛盾，故a1=1，d=1时，A∩B=∅，
∴当a1≠0时，一定有A∩B≠∅是不正确的．